Наглядное объяснение алгоритма Беллмана-Форда

Алгоритм Беллмана-Форда находит в ориентированном графе кратчайшие пути от исходной вершины до всех остальных. В отличие от алгоритма Дейкстры, в алгоритме Беллмана-Форда могут быть рёбра с отрицательным весом.

Начнём с того, что все исходящие ребра записываются в таблице в алфавитном порядке.

Как и в алгоритме Дейкстры, создаётся таблица, в которой записывается расстояние до каждой вершины и предыдущая вершина. Расстояния для всех вершин, кроме исходной, инициализируются значением бесконечности. Расстояние обозначено переменной d, а предыдущая вершина — переменной π.

Алгоритм Беллмана-Форда проходит итеративный путь через все рёбра. Всего рёбер 9, поэтому путь этот будет насчитывать до 9 итераций. Во время каждой итерации какое-то одно ребро ослабляется. Во время первой итерации при переходе из вершины A в вершину C вес соответствующего ребра АС составляет -3. Текущее расстояние от исходной вершины до А равно бесконечности. При добавлении -3 к бесконечности результатом будет бесконечность, поэтому значение C будет равно бесконечности. Аналогично, при переходе от А до Е вес соответствующего ребра АЕ составляет 2. Но, так как расстояние до А бесконечно, значение Е будет равно бесконечности. То же верно и в отношении рёбер BF, CB, CH, FG, GB и HD. Все они дают один и тот же результат — бесконечность. И только последнее ребро, SA, даёт другой результат. Вес ребра SA равен 5. Текущее расстояние до S равно 0, поэтому расстояние от S до A составит 0 + 5 = 5. Вершина, предыдущая по отношению к вершине A, — это вершина S. После первой итерации алгоритм Беллмана-Форда нашёл путь от S до А.

Так как все рёбра были ослаблены, алгоритм начинает вторую итерацию. Нам важны рёбра, отходящие от S и A, поскольку расстояние до этих вершин уже известно. Расстояние до всех остальных вершин равно бесконечности. Обращаясь к таблице, содержащей рёбра, мы начинаем с ослабления ребра АС.

Вес ребра АС равен -3. Текущее расстояние до вершины А равно 5 (через ребро SA), поэтому расстояние до вершины С составит 5 + (-3) = 2. Вершина-предшественница С — это вершина А. Вес ребра АЕ равен 2. Расстояние до E составит 5 + 2 = 7 (через ребро SA). Вершиной, предыдущей по отношению к вершине E, становится теперь вершина A. Ребро BF пока ещё не может быть ослаблено.

Ребро CB может быть ослаблено, так как мы знаем расстояние до C. Расстояние до B составит 2 + 7 = 9, а вершина, предыдущая по отношению к вершине В, — это вершина C. Ребро CH может быть ослаблено, так как мы знаем расстояние до C. Расстояние до H составит 2 + (-3) = -1, а вершина-предшественница Н — это вершина C.

Ребро FG ещё не может быть ослаблено. Ребро GВ тоже не может быть ослаблено. А вот ребро HD можно ослабить, так как мы знаем, что расстояние до вершины H равно -1. Расстояние до вершины D составит -1 + 1 = 0, а вершина, предыдущая по отношению к вершине D, — это вершина H.

Расстояние до A от ребра SA уже посчитано и равно 5, так что никаких обновлений здесь не требуется. На этом заканчивается итерация 2.

Во время третьей итерации алгоритм Беллмана-Форда снова перебирает все рёбра. Ребра AC и AE дают одинаковые результаты. Ребро BF теперь можно ослабить. Расстояние до B равно 9, поэтому расстояние до вершины F составит 9 + (-5) = 4. Вершина-предшественница F — это вершина В.

Рёбра CB и CH дают одинаковые результаты, поэтому таблица остаётся прежней. Ребро FG теперь можно ослабить. Расстояние до вершины F равно 4, поэтому расстояние до вершины G составит 4 + 2 = 6. Вершина, предыдущая по отношению к вершине G, — это вершина F.

Ребро GB теперь можно ослабить. Расстояние до вершины G равно 6, поэтому расстояние до B составит 6 + 4 = 10. Так как до вершины B можно добраться более коротким путём (через ребро CB), таблица остаётся прежней.

Во время четвёртой итерации перебираются все рёбра. Алгоритм видит, что изменений нет, поэтому на четвёртой итерации он завершается.

Если бы в этом графе существовал отрицательный цикл, то после n-1 итераций алгоритм Беллмана-Форда теоретически должен был бы найти кратчайшие пути ко всем вершинам. Во время n-й итерации, где n обозначает число вершин, при существовании отрицательного цикла расстояние, по крайней мере, до одной вершины изменится. Давайте рассмотрим небольшой пример.

Строится таблица с расстояниями и вершинами-предшественницами. Расстояния инициализируются значением бесконечности для вершин A, B и C. Расстояние до S равно 0.

Видим, что первое ребро АВ ещё не может быть ослаблено, так же как и рёбра BC и СА. Зато может быть ослаблено ребро SA. Расстояние до S равно 0, поэтому расстояние до A составит 0 + 3 = 3. Вершина, предыдущая по отношению к вершине А, — это вершина S.

Ребро SB тоже можно ослабить. Расстояние до вершины B составит 0 + 6 = 6. Вершина-предшественница B — это вершина S.

Первая итерация завершена. Во время второй итерации снова перебираются все рёбра.

Ребро AB может быть ослаблено во время второй итерации. Расстояние до A равно 3, поэтому расстояние до вершины B составит 3 + 5 = 8. Так как расстояние до B уже меньше нового значения, значение B сохраняется. До ребра BC можно добраться, пройдя расстояние 6 + 2 = 8. Вершина, предыдущая по отношению к вершине С, — это вершина В.

Дальше перебирается ребро СА. Расстояние до C равно 8 единицам, поэтому расстояние до А (через ребро BC) составит 8 + (-10) = -2. Так как расстояние до А через ребро CA меньше, чем через ребро SA, расстояние до А обновляется.

Рёбра SA и SB не дают ничего лучшего, поэтому вторая итерация завершена. Начинается третья итерация.

Ребро АВ ослаблено. Расстояние до A в настоящее время равно -2, поэтому расстояние до B через ребро AB составит -2 + 5 = 3. Так как расстояние до B через AB меньше, чем через SB, расстояние становится теперь равным 3. Вершиной, предыдущей по отношению к вершине В, становится теперь вершина A.

Дальше ослабляется ребро BC. Текущее расстояние до B равно 3, поэтому расстояние до C составит 3 + 2 = 5. Расстояние до C становится теперь равным 5.

Ребро СА ослабляется. Расстояние до C составит 5 + (-10) = -5. Расстояние до вершины А обновляется на -5 единиц.

Рёбра SA и SB не дают результатов лучше. В это время все кратчайшие пути должны были быть найдены. В других итерациях никаких изменений быть не должно.

Ребро АВ ослаблено. Расстояние до A равно -5, поэтому расстояние до B составит -5 + 5 = 0. Расстояние до В становится теперь равным 0. Так как значение меняется на n-й итерации, значения будут меняться и на n+1-й итерации. Значения будут продолжать меняться неопределённое время. Если мы внимательно изучим граф, то увидим, что ABC даёт отрицательное значение: 5 + 2 + (-10) = -3.

---

Перевод статьи Dino Cajic: Bellman-Ford Algorithm Visually Explained