Почему 0,99999… равно 1

Давайте разберёмся, почему математики говорят, что 0,(9)=1. То есть ноль целых девять в периоде равно одному. Объяснение простое, но красивое.

Об изображении: это не просто изображение, это инфографика трансфинитной индукции. 

Многие из нас знакомы с понятием числовой оси. Но как это понятие представляют себе математики? Они любят определять какие-то простые вещи, а потом применять их в своих открытиях. Этим и займёмся.

Давайте рассмотрим ряд чисел — последовательность дробей (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n, …).

Если бы вас попросили назвать значение, к которому можно было бы «приравнять» эту последовательность, каким бы оно было? Подумайте об этом минуту.

Чему равна последовательность?

Поразмыслив, вы могли решить, что если бы надо было присвоить какое-то значение этой последовательности, то им бы стал ноль. Ведь каждое следующее значение последовательности всё ближе подбирается к нулю.

Если бы я выбрал другое число (0,001, например), оно могло бы казаться подходящим до тех пор, пока я не добрался бы до такого числа последовательности, как 1/100000000000 = 0,00000000001, а это уже намного дальше!

А что если сравнить две последовательности рациональных чисел?

Можно сказать, что последовательности «равны», если разница между ними стремится к нулю.

Например, давайте сравним последовательность из единиц, т.е. все числа в ней — единицы (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ….) с такой последовательностью (0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999…).

Разница между этими двумя последовательностями стремится к нулю и очень быстро! Разница между первыми числами последовательностей равна 1–0,9=0,1. Разница между вторыми числами последовательностей равна 1–0,99=0,01. А разница между N-ми числами последовательностей равна 0,00…..01 = 1/1⁰¹⁰. То есть ноль целых и N-1 нулей перед единицей (или ноль целых один в -N степени).

В основании математики

То, что мы здесь делаем, в математике называется «пополнением метрического пространства». Мы берём математические объекты, такие как рациональные числа, которые имеют очень хорошие свойства:

(1) рациональные числа обладают большой вариативностью представления, то есть числа легко можно представить в виде дробей и т.д.;

(2) между ними довольно легко посчитать разницу;

(3) можно задать последовательности рациональных чисел.

Но тот факт, что последовательность состоит из рациональных чисел, вовсе не означает, что число, равное этой последовательности, само обязательно будет рациональным числом.

Так, если бы у нас была последовательность рациональных чисел, стремящаяся к корню из двух, эта последовательность не была бы «равна» рациональному числу, ведь мы можем доказать, что это число (корень из двух) не является рациональным!

«Пополнение метрического пространства» создаёт новые элементы, определённые через последовательности в нашем исходном метрическом пространстве. Именно это мы только что и сделали! Мы определяем вещественное число через последовательность рациональных чисел и говорим, что две последовательности равны, если разница между ними стремится к нулю.

Это даёт возможность выполнять вычисления в новом пространстве и говорить о результатах в пределах, но быть уверенными, что предел существует. Не надо стремиться выполнять вычисления с пределами только над рациональными числами, потому что предел последовательности рациональных чисел не всегда будет рациональным числом.

Здорово, что теперь мы можем узнавать что-то новое о целых числах и дробях внутри этого нового пространства. И хотя знаменитая гипотеза Коллатца посвящена исключительно целым числам, Теренс Тао использовал «теорию меры» (продвинутую область вычислений), чтобы доказать «вероятностные суждения» относительно того, «насколько часто» гипотеза Коллатца должна быть верна (см. https://arxiv.org/pdf/1909.03562.pdf).

Это просто невероятно! Мы начинаем с обыкновенных целых чисел, создаём богатую область объектов и в этом новом, гораздо более сложном пространстве можем узнавать что-то новое об этих самых целых числах, с которых всё и началось.

Перевод статьи Maths and Musings: Understanding Why 0.99999… = 1